[선형대수] - (1) Introduction to the vector

인턴을 하면서 선형대수가 부족하다고 느껴서, 이번 4학년 1학기를 이용해 선형대수 과목을 다시 ㅋㅋ 수강하고 있다!  선형대수가 참.. 되게 기초적이면서도 간과하기 쉬운데 또 중요한 .. 그렇지만 잘 까먹게 되는 과목인 것 같다. 아무튼 선대는 나중에 계속 필요한 내용이니까.. 중간고사가 막 끝나서 공부했던 내용을 블로그에 남겨놓기로 했다.

본 게시글에서는 기초적인 벡터와 행렬에 대한 이야기를 다룬다. 

 

# Linear Combination 

w와 v의 linear combination

• 흔히 선형대수에서는 linear combination 이야기가 많이 나오는데, 이는 별게 아니고 두개의 벡터를 $cv + dw$ 형태로 나타내 새로운 벡터를 만드는 것이라고 이해했다. (그림에서는 빨간색 벡터가 될 것) 
• 여기서 $cv$는 하나의 벡터 라인이 될 텐데, 만약 $w$가 이 line 위에 없다면 (=independent) $cv + dw$는 2차원 모든 공간을 채울 수 있게 될 것이다. (c, w scalar의 자리에는 수많은 조합이 들어갈 수 있기 때문) 

 

# Length 

• 벡터의 길이는 다음과 같이 나타낸다. 

• 특히 unit vector는 length가 1인 벡터를 의미한다. 

 

• 또한, 두 unit vector를 곱하면, 두 벡터의 사잇값($cos\theta$)을 알 수 있다. (Cosine similarity와 식이 비슷하게 생겼다) 

위 그림처럼 생각하면, 왜 unit vector의 곱이 두 벡터의 사잇값을 의미하는지 이해가 갈 것이다.

 

# Inner product / Dot product 

• 두 벡터의 내적은 아래와 같이 나타낸다. 

• 이 때, 두 벡터의 내적이 0이라면 두 벡터는 수직(perpendicular)이다. 

 

# Independent / Dependent 

• 선형대수에서 가장 많이 나오는 말이다. 개념이 조금 추상적인데, 아래 그림을 보자. 

• 한마디로 정의하면, 만약 $u$와 $v$가 만드는 평면에 $w$ 벡터가 존재한다면 이 때 $u$, $v$, $w$는 dependent 관계이다. (우측 그림) 하지만 세개의 벡터가 존재하는 범위가 전혀 겹치지 않는다면, independent 관계라고 생각해보자. 
• Independent/dependent 관계는 선형대수에서 큰 함의를 가진다. 요약하면 아래와 같다.